2024～2025 学年第一学期高二年级期末学业诊断
数学试卷
（考试时间：上午8：00—10：00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120 分钟，满分150 分.
一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 抛物线 y2=4x 的焦点坐标是
A. （0,2） B. （0,1） C. （2,0） D. （1,0）
2. 双曲线的顶点坐标为（）
A. ， B. ， C. ， D. ，
3. 已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（）
A. B. C. D.
4. 已知双曲线的一个焦点为，其离心率，则该双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线C 以椭圆方程E：的焦点为顶点，以E 的顶点为焦点，则双曲线C 的标准方程为
（）
A. B. C. D.
6. 已知点P 是抛物线上一点，则点P 到直线的距离的最小值为（）
A. B. 2 C. D.
7. 已知直线与双曲线相交于、两个不同点，点是
的中点，则双曲线的离心率为（）
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A. B. C. D.
8. 古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中对圆锥曲线给出了统一定义，即到定点的距离与到定直
线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；
当时，轨迹为双曲线.若方程表示的曲线是双曲线，则实数k 的取值范
围为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分）
9. 已知 ， ，双曲线：与：，则下列结论正确的是（）
A. 它们的实轴长相等 B. 它们的焦点相同
C. 它们的离心率相等 D. 它们的渐近线相同
10. 已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（）
A. 直线l 过定点
B. 当时，直线l 与抛物线C 相切
C. 当时，直线l 与抛物线C 有两个公共点
D. 当直线l 与抛物线C 无公共点时，或
11. 平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年法国天文学家卡西尼在研
究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知平面直角坐标系中， ， ，动点P 满足
，记动点P 的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（）
A. 曲线C 关于原点对称 B. 点P 的横坐标的取值范围为
C. 面积的最大值为 2 D. 的取值范围为
三、填空题（本题共3 小题，每小题5 分，共15 分）
12. 抛物线准线方程是___________________.
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13. 已知过抛物线C：（）的焦点F 且斜率为的直线与C 相交于A，B 两个不同点，若
，则（O 是坐标原点）的面积为__________.
14. 已知双曲线E：的左焦点为F，点M 是E 右支上的动点，点N 是圆上的
动点，则的最大值为__________.
四、解答题（本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）已知抛物线C 经过点，求C 的标准方程和焦点坐标；
（2）已知双曲线C 经过点 ， ，求C 的标准方程和焦点坐标.
16. 已知点在抛物线C：（）上，且点P 到C 准线的距离为 2.
（1）求C 方程；
（2）设圆与抛物线C 相交于A，B 两个不同点，求的值.
17. 已知点 ， ，动点P 满足，记点P 轨迹为曲线C.
（1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 的形状；
（2）若双曲线E 右焦点是曲线C 的对称中心，其渐近线是曲线C 的切线，求双曲线E 的标准方程.
18. 已知点 ， ，直线PM 与PN 相交于点P，且它们的斜率之积为，记点P 的轨迹
为曲线C.
（1）求曲线C 的标准方程；
（2）若直线l：交曲线C 于A，B 两点，点（不在直线l 上），是否存在实数k，使得直
线QA 与QB 的斜率之和为 0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
19. 椭圆有很好的光学性质.如图，从椭圆C 的一个焦点发出的光线，被椭圆上点P 反射后，反射光线经
过另一个焦点，且椭圆在点P 处的切线l 与的平分线l＇（即法线）垂直.已知椭圆C 的中心为坐
标原点O，左、右顶点分别为A，B，焦点为 ， .由发出的光线经椭圆C 两次反射
后回到所经过的路程为 8c.过点作直线l 的垂线，垂足为D， .
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（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）当点P，A，B 不共线时，设内切圆的圆心为，求实数n 的取值范围；
（3）过点的直线与椭圆C 交于M，N 两点（均与A，B 不重合），直线AM 交直线于点G，证明：
B，N，G 三点共线.
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