最近翻到大同中学的自招真题，发现一道很有代表性的代数题，它的原型来自江苏省竞赛题，在上海四校八大的自招中很常见。我们顺着这道题，聊聊这类题的解题思路。把这道题放回大同中学的自招卷里看，就更能明白这类「和与幂和」题型的命题思路——源于竞赛，又贴合自招的难度要求。这类题的核心，就是用基础公式把高次幂转化为低次幂，掌握这个逻辑，不管是竞赛还是自招的变形题，都能应对。【补充的「和与幂和」专业介绍】
什么是「和与幂和」？
「和与幂和」是代数中的一类经典题型，核心是已知若干个变量的一次和（a+b+c）、二次幂和（a^2+b^2+c^2）、三次幂和（a^3+b^3+c^3），求更高次的幂和（如a^4+b^4+c^4）或对称式（如abc、ab+bc+ca）。
核心解题工具
这类题的解题依赖对称多项式基本定理，即任何对称多项式都可以表示为初等对称多项式（a+b+c、ab+bc+ca、abc）的多项式。常用公式包括：
1. 完全平方公式：
(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)
2. 立方和公式：
a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab-bc-ca)
3. 四次幂公式：
(a^2+b^2+c^2)^2 = a^4+b^4+c^4 + 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)
其中 a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = (ab+bc+ca)^2 - 2abc(a+b+c)。
考察意义
这类题型在自招和竞赛中频繁出现，主要考察学生的代数变形能力和公式迁移能力，同时也能锻炼学生的逻辑推导与抽象思维。掌握这类题的解法，不仅能应对自招，还能为高中阶段的多项式学习打下坚实基础。
