中点+特殊角(2024太原八下期末22)

（2024太原八下期末22(3)）

如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=15°,点Q为BC的中点，PQ平分△ABC的周长，请你直接写出线段PQ的长度．

【答案】(√3-1)/2

方法及思路分析：

①特殊角→解三角形

②“PQ平分△ABC的周长”且“点Q是边BC的中点” → AB+AP=PC → 线段和差关系→截长补短

③“中点”→中位线/倍长中线

法一：解三角形

解△ABC(过A作垂)得AB=√3-1，BC=√6

∴CP=(AB+AC)/2=(√3+1)/2，CQ=√6/2

解△PQC(过P或Q作垂)得PQ=√(1-√3/2)= (√3-1)/2

法二：补短+中位线

延长CA至O，使AO=AB，连接BO

又∠BAC=180-45-15=120°可得 △ABO是等边三角形

PO=AO+AP=AB+AP=PC，即P为CO中点

又Q为BC中点，

∴PQ为△CBO的中位线→PQ=BO/2

解△CBO得BO=√3-1→PQ=BO/2= (√3-1)/2

（或解△ABC得AB=√3-1→PQ=BO/2=AB/2= (√3-1)/2）

法三：取中点构造中位线

取AC中点O得OQ为△ABC中线

∴OQ=AB/2、OQ//AB

      →∠QOP=180-∠A=180-120=60°

AC=PC+AP=AB+AP+AP=AB+2AP

      →AO =AC/2=AB/2+AP=AP+PO

∴PO=AB/2  又OQ=AB/2  得PO=OQ

又∠QOP=60°

得等边△OPQ→PQ=OP=OQ

解△ABC得AB=√3-1→PQ=OQ=AB/2= (√3-1)/2

（证PO=OQ如下图更直观：）

法四：倍长中线+截长  

倍长PQ至O，则OP=2PQ

连接BO，由SAS全等可得∠OBQ=∠C=15°、BO=CP=AB+AP

∴AC//BO、∠ABO=45+15=60°

在BO上截取BM=AB，

又BO=CP=AB+AP=BM+MO，

则有AP=MO

由AP//MO、AP=MO

得▱APOM→AM=OP=2PQ

∠ABO=60°、BM=AB→等边△ABM

          →AB=AM=2PQ

解△ABC得AB=√3-1→PQ=AB/2= (√3-1)/2

法五：截长+三角形看作四边形构造中位线

在PC上截取PM=PA，则有MC=AB

将△ABC看作四边形AMCB

即在四边形AMCB中，已知一组对边关系AB=MC与另一组对边AM和BC的中点，

方法：连接对角线BM取中点O，连接OP、OQ，构造中位线

∴AB=2OP，MC=2OQ， AB//OP，MC//OQ

又AB=MC，可得OP=OQ

由AB//OP得∠POM=∠ABO=45°-∠OBQ

由MC//OQ得∠OQB=∠C=15°

外角得∠QOM=∠OBQ+∠OQB=∠OBQ+15°

∴∠POQ=∠POM+∠QOM=45°-∠OBQ+∠OBQ+15°=60°

又OP=OQ→等边△OPQ→PQ=OP=AB/2

解△ABC得AB=√3-1→PQ=AB/2= (√3-1)/2

构造特殊角30°解三角形

以上所有解△ABC可替换为

法二中解△CBO可替换为

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