（2024市二模23）.
（动态图见文末）
（1）（易）ASA证全等
（2）
析：
MN//AD→△CMN∽△CDA
→MN/AD=CN/CA=CM/CD
求MN/AD即求CN/CA或CM/CD
由AD=2DE、N为EF中点可得等腰直角△FAN→∠ANF=45°
等边△ABC→∠NCM=60°
法一：45°、60°
析：
由∠CNM=45°、∠NCM=60°可解三角形△CMN得边的比例关系如图
故部分学生试图通过△CMN边的比例求解，但所求为两个三角形的相似比，仅通过一个三角形△CMN的三边比是无法求解的
但AD→AF→AN→NC可形成关系，故可解△CAD
与解△CMN同理可解得△CDA边的比为AC:AD=(1+√3):√6，
又AC=4，∴AD=6√2-2√6
∴AF=AD/2=3√2-√6
→AN=√2AF=6-2√3
→CN=AC-AN=2√3-2
∴MN/AD=CN/CA=(√3-1)/2
在书写解△CDA过程中，需过D向AC作垂，此时若未发现N即为垂足，则思路如上，较为繁琐。若发现N即为垂足，则易得CN：CA=1:√3（见后文答案）
法二：45°、60°→75°→15°
△CMN中，∠CNM=45°、∠NCM=60°
→∠CMN=75°→∠DME=75°
→Rt△DME中，∠MDE=15°
→EM:ED=1:(2+√3)
设EM=1→ED=2+√3→AD=EF=4+2√3
→EN=EF/2=2+√3→MN=EN-EM=1+√3
→MN/AD=(1+√3):(4+2√3) =(√3-1)/2
（书写过程中注意15°比例的推导）
（3）
析：M在BC上，N在AC上→CM与CN夹角为60°或120°
分类讨论：
M在线段BC上（C左侧），N在直线AC（C上方）上，夹角为60°；
M在线段BC上（C左侧），N在直线AC（C下方）上，夹角为120°（此图不存在）；
M在射线BC上（C右侧），N在直线AC（C下方）上，夹角为60°（此图不存在）；
M在射线BC上（C右侧），N在直线AC（C上方）上，夹角为120°。
①当M在线段BC上（C左侧），N在直线AC（C上方）上，夹角为60°：
由CN=2CM且cos60°=1/2可得△CMN为Rt△，如图
设AF=1则AD=FM=2，FN=√3
→MN=FM-FN=2-√3
∴MN/AD=(2-√3)/2
②M在射线BC上（C右侧），N在直线AC（C上方）上，夹角为120°：
法一：
可得tan∠MNQ=√3:5，tan∠NMP=√3:2
设AF=DE=√3
∴AD=EF=2√3，NF=5，EM=2
→MN=ME+EF+FN=7+2√3
∴MN/AD=(7+2√3)/2√3=(6+7√3)/6
法二：
1-2-120°→1:2: √7
一线三垂相似△EDT∽△DAS且相似比为1:2
射影相似ET²=DT·MT
可得如图比例，
∴动点问题线段（2024太原市二模23）
动态图：
答案：
good good study，day day up📝
