2026太原二模·数学第8题｜影长问题的严谨几何与代数解析

题目再现

如图，在某斜坡面道路旁有 ， 两点（其中  在斜坡路面底， 在斜坡路面上），

有两根长度均为  且垂直于水平面放置的路灯杆.在阳光的照射下（阳光可视为平行光），

处路灯杆的影子在水平路面上，长度为 ； 处路灯杆的影子完全在斜坡路面上，长度为 .

则该斜坡面与水平面的夹角  的正弦值为（ ）

A. 

B. 

C. 

D. 

物理情境与光线方向剖析

解题的首要关键是确定光线方向与影子在斜坡上的朝向：

1. 太阳高度角： 杆高 ，在水平地面影长同为 ，构成等腰直角三角形.故太阳光线与水平面的夹角（太阳高度角）为 .
2. 影子朝向判定： 由于阳光从右上方以  角射向左下方，而斜坡面上倾，设倾角为 .显然 （否则影子不会落在斜坡上）.光线穿越斜坡上的  杆顶部后，必然交于  点左下方的斜坡面上.因此，  杆在斜坡上的影子是沿斜坡向下的.

以下为基于原题情境的高精度复原示意图：

解法一：纯几何法（正弦定理）

提取  杆（）、太阳光线（）以及斜坡面上的影子（）所构成的竖直截面三角形 .此方法避开繁琐建系，直接在三角形内部进行参数求解.

解析过程：

1. 角关系测算：

• 光线与水平面夹角为 ，路灯杆垂于地面，故光线与杆夹角 .
• 影子沿斜坡向下，斜坡向下与水平面夹角为 ，故杆与影子的夹角 .
• 在  中，由内角和定理：.

2. 正弦定理求解：

   在  中，由正弦定理 ，代入已知边长：

   化简即得：

   因  为斜坡锐角，解得 ，即 .

3. 求正弦值：

   匹配选项 A.

解法二：代数解析法（空间坐标建模）

若空间几何感稍弱，可直接利用坐标解析体系.建立以剖面截线为基础的二维直角坐标系.

解析过程：

设坡底拐点为原点 ，水平面在 ，斜坡面方程为 .

已知太阳高度角为 ，光线朝左下方照射，光线方向向量为 .

设  杆底端坐标为 ，顶端  坐标为 .

过  点的光线参数方程为：

其中  即为光线从  到  的水平投影长度.

将光线方程代入斜坡方程  求交点 ：

化简得水平投影  的表达式：

由于影子  在斜坡上的实际长度  与其水平投影长度  满足射影关系 ，代入已知影长 ：

化简分母：

利用辅助角公式收缩：

解得 .最终结果同样为 .

反思

本题的底层逻辑是在二维截面内处理三维平行投影.通过代数法建系能够稳扎稳打得出结论，但纯几何法则直击本质：敏锐地抓取“向下的影子”构成的钝角三角形，利用单次正弦定理即可秒杀，是考场上的最优思维路！